摘要：推导了物体在凹面轨道上缓慢运动时克服摩擦力做功的公式；探讨了有关物体沿凹面轨道运动问题的错题及错解；探究了几道典型题及高考题的解法。

　　论文关键词：凹面轨道，摩擦力，做功，向心力

　　
　　1 克服凹面摩擦力所做的功

　　
　　如图1所示，斜面长为l，倾角为θ。一个质量为m的物体沿斜面由顶端向下滑动，动摩擦因数为μ。则物体克服摩擦力所做的功为Wf=μmglcosθ=μGx。

　　
　　可见，当物体只受重力、弹力和摩擦力作用沿斜面运动时，克服摩擦力所做的功等于动摩擦因数、重力的大小和水平位移的大小三者的乘积。

　　
　　如图2所示，假设物体沿圆弧轨道AB缓慢下滑一小段圆弧Δs，可视为斜面。则到达C点时受到的摩擦力为f=μmgcosθ，克服摩擦力做的功为ΔWf=μmgcosθ·Δs。由于Δs·cosθ表示物体在水平方向的位移Δx，因此ΔWf=μmg·Δx。由微元累加法可知，在沿圆弧路径运动的过程中，物体在水平方向的位移为x=R。所以，物体在缓慢下滑过程中克服摩擦力所做的功为Wf=μmgR。

　　
　　一般来说，若物体沿斜面运动或沿凹面缓慢运动，克服摩擦力所做的功等效于物体沿轨道的水平投影面运动时克服其摩擦力所做的功，即Wf=μGx。

　　
　　如果物体在凹面上运动的速度较大，则摩擦力大小与速度有关。因此，公式Wf=μGx不成立。如果物体在凹面上做变速运动，则在不同位置受到的向心力不同，使物体受到的支持力大小不同，因此摩擦力大小不同。那么，物体经过相同的路程克服摩擦力所做的功不同，而且速度越大，克服摩擦力所做的功就越多。

　　
　　2 错题或错解

　　
　　解析 设物体在AB段克服摩擦力做的功为Wf，对物体由A到C运动过程运用动能定理有

　　
　　mgR-μmgR-Wf=0，

　　
　　可得Wf=mgR（1-μ）=0.4mgR。

　　
　　探讨 该结果是错的。假设物体缓慢下滑，则在AB段克服摩擦力所做的功为Wf=μmgR。

　　
　　但实际上，物体下滑过程是变速圆周运动，速度逐渐增加。由向心力FN-mgcosθ=可知，FN>mgcosθ，因此Wf >μmgR。对物体由A到C运用动能定理有mgR-μmgR-Wf=0，

　　
　　则mgR-μmgR>μmgR，

　　
　　即2μmgR